Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1
Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1, $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, alors
- on commence par chercher les solutions de l'équation hom*ogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$. Soit $A$ une primitive de la fonction $a$. Les solutions de l'équation hom*ogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, $\lambda$ une constante réelle ou complexe. En particulier, si $a$ est une fonction constante, les solutions de l'équation hom*ogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-ax}$.
- on cherche alors une solution particulière de l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$,
- soit en cherchant une solution évidente (voir cet exercice);
- soit, si $a$ est une constante, en cherchant une solution du même type que $b$ (un polynôme si $b$ est un polynôme,...) (voir cet exercice);
- soit en utilisant la méthode de variation de la constante : on cherche une solution sous la forme $y(x)=\lambda(x)y_0(x)$, où$y_0$ est une solution de l'équation hom*ogène. On a alors$$y'(x)=\lambda'(x)y_0(x)+\lambda(x)y_0'(x)$$et donc $$y'(x)+a(x)y(x)=\lambda(x)(y_0'(x)+a(x)y_0(x))+\lambda'(x)y_0(x).$$Tenant compte de $y_0'+ay_0=0$, $y$ est solution de l'équation $y'+ay=b$ si et seulement si$$\lambda'(x)y_0(x)=b(x).$$On doit alors trouver une primitive de $b(x)/y_0(x)$ pour trouver une solution particulière (voir cet exercice).
- si le second membre s'écrit sous la forme $b(x)=b_1(x)+b_2(x)$, on peut aussi utiliser le principe de superposition des solutions : oncherche une solution $y_1$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_1(x)$ et une solution $y_2$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_2(x)$.Alors $y_1+y_2$ est une solution à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ (voir cet exercice).
- les solutions de l'équation $y'+ay=b$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et dessolutions de l'équation hom*ogène.
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, $y''(x)+ay'(x)+by(x)=f(x)$, alors on commence par rechercher les solutions de l'équation hom*ogène : $y''+ay'+by=0$. Pour cela, on introduit l'équation caractéristique$$r^2+ar+b=0.$$La résolution de l'équation hom*ogène dépend alors de si l'on se place sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$ :
- Résolution de l'équation hom*ogène, cas complexe :
- si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation hom*ogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions$$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation hom*ogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions$$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- Résolution de l'équation hom*ogène, cas réel :
- si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation hom*ogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions$$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation hom*ogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions$$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation hom*ogène sont les fonctions$$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$
On cherche ensuite une solution particulière :
- si $f$ est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme.
- si $f(x)=A\exp(\lambda x)$, on cherche une solution particulière sous la forme
- $B\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ n'est pas racine de l'équation caractéristique;
- $Bx\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique;
- $Bx^2\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine double de l'équation caractéristique.
- si $f(x)=B\cos(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation hom*ogèneest $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\sin(\omega x)$.
- si $f(x)=B\sin(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation hom*ogèneest $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\cos(\omega x)$.
- remarquons que le cas où le second membre est de la forme $\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ peut aussi être traitée en utilisant $\cos(\omega x)=\Re e(e^{i\omega x})$, en procédant comme décrit ci-dessous pour $e^{\lambda x}$ avec $\lambda=i\omega$, et en prenant la partie réelle de la solution particulière trouvée. Cette méthode fonctionne aussi si le second membre est de la forme $e^{ax} \cos(bx)$.
- Plus généralement, si $f(x)=P(x)\exp(\lambda x)$, avec $P$ un polynôme, on cherche une solution sous la forme $Q(x)\exp(\lambda x)$.
Enfin, les solutions de l'équation $y''+ay'+by=f$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et dessolutions de l'équation hom*ogène.
Problème du raccordement des solutions
Soit à résoudre l'équation différentielle $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$ avec $a,b,c:\mathbb R\to \mathbb R$ continues.On suppose que $a$ s'annule seulement en $x_0$. Pour résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb R$,
- on commence par résoudre l'équation sur $]-\infty,x_0[$ et sur $]x_0,+\infty[$, là où $a$ ne s'annule pas;
- on écrit qu'une solution définie sur $\mathbb R$ est une solution sur $]-\infty,x_0[$ et aussi sur $]x_0,+\infty[$. On écrit cesrestrictions en utilisant le point précédent. Ces solutions font intervenir des constantes qui sont a priori différentes;
- on étudie si les restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. On peut ainsi prolongerla fonction à $\mathbb R$ tout entier. Éventuellement,ceci impose des contraintes sur les constantes;
- on étudie si les dérivées des restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. La fonction prolongéeest ainsi dérivable en $x_0$. Éventuellement, ceci impose d'autres contraintes sur les constantes;
- on vérifie qu'on a bien obtenu une solution.
(voir cet exercice).
Résolution des systèmes hom*ogènes à coefficients constants
Pour résoudre une équation différentielle linéaire hom*ogène à coefficient constants $X'=AX$,
- Si $A$ est diagonalisable, de vecteurs propres $X_1,\dots,X_n$ associés aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, une basede l'ensemble des solutions est $(e^{\lambda_1t}X_1,\dots,e^{\lambda_n t}X_n)$.
- Si $\mathbb K=\mathbb R$ et $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ mais pas sur $\mathbb R$, on résoud d'abord sur $\mathbb C$ puis on en déduitune base de solutions à valeurs réelles grâce aux parties réelles et imaginaires;
- Si $A$ est trigonalisable, on peut se ramener à un système triangulaire;
- On peut aussi calculer l'exponentielle de $A$. Le calcul est plus facile si on connait un polynôme annulateur de $A$.
Recherche d'une solution particulière avec la méthode de variation des constantes
Pour chercher une solution particulière au système différentiel$$X'(t)=A(t)X(t)+B(t)$$par la méthode de variation des constantes,
- on cherche un système fondamental de solutions $(X_1,\dots,X_n)$;
- on cherche une solution particulière sous la forme $X(t)=\sum_{i=1}^n C_i(t)X_i(t)$; $X$ est solution du système si et seulement si $$\sum_{i=1}^n C_i'(t)X_i(t)=B(t).$$
- le système précédent est inversible, on peut déterminer chaque $C_i'$;
- en intégrant, on retrouve $C_i$.
Résolution d'une équation du second degré par la méthode d'abaissem*nt de l'ordre
Soit à résoudre sur un intervalle $I$ une équation différentielle du second ordre $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0,$$dont on connait une solution particulière $x_p(t)$ qui ne s'annule pas sur $I$. On pose $y(t)=x(t)/x_p(t)$. Alors la fonction $y'$ est solution d'une équation différentielledu premier ordre. On peut résoudre cette équation différentielle, pour déterminer $y'$, puis $y$ (voir cet exercice).
Résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières
Pour résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières,
- on commence par supposer qu'il existe une solution $S(x)=\sum_n a_n x^n$ développable en série entière;
- on introduit cette solution dans l'équation, en dérivant terme à terme pour exprimer $S'(x),\dots$;
- par des changements d'indice, on se ramène à une écriture du type $\sum_n b_n x^n=0$, où la suite $(b_n)$ s'écriten fonction de la suite $(a_n)$;
- par unicité des coefficients d'une série entière, on sait que $b_n=0$;
- cela doit permettre de trouver la suite $(a_n)$ en fonction éventuellement de certains paramètres;
- réciproquement, on vérifie que la série entière $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence non nul et qu'elle est solution de l'équation différentielle.
(voir cet exercice)